Σαν σήμερα, το 2014, ο Στράτος Σβάρνας έκανε το πρώτο του βήμα στην ΑΕΚ, σε ηλικία μόλις 17 ετών, όταν η Ένωση τον απέκτησε από την Τριγλία Ραφήνας.
Ο νεαρός τότε αμυντικός εντάχθηκε στην ΑΕΚ με στόχο να εξελιχθεί και να διεκδικήσει τη θέση του στην πρώτη ομάδα. Κατά την πρώτη του παρουσία στον σύλλογο, από το 2014 έως το 2016, κατέγραψε 11 συμμετοχές στο πρωτάθλημα και αποτέλεσε μέλος της ομάδας που κατέκτησε το Κύπελλο Ελλάδας το 2016.
Στη συνέχεια παραχωρήθηκε στην Ξάνθη, όπου αγωνίστηκε για δύο σεζόν και πήρε σημαντικές εμπειρίες, καταγράφοντας 24 συμμετοχές και ένα γκολ στο πρωτάθλημα.
Το καλοκαίρι του 2018 επέστρεψε στην Ένωση και αυτή τη φορά κατάφερε να έχει πιο ενεργό ρόλο στην ομάδα. Με τα κιτρινόμαυρα κατέγραψε συνολικά περισσότερες από 50 συμμετοχές στο πρωτάθλημα, ενώ αγωνίστηκε και στις ευρωπαϊκές διοργανώσεις. Παράλληλα, οι εμφανίσεις του τού άνοιξαν και την πόρτα της Εθνικής Ελλάδας.
Το 2022 ολοκληρώθηκε η δεύτερη θητεία του στην ΑΕΚ, καθώς μετακόμισε στην Πολωνία για λογαριασμό της Ράκοφ Τσενστοχόβα, η οποία απέκτησε τα δικαιώματά του έναν χρόνο αργότερα.
Έντεκα χρόνια μετά την πρώτη του άφιξη στην ΑΕΚ, ο Στράτος Σβάρνας παραμένει ένας ποδοσφαιριστής που συνδέθηκε σημαντικά με την Ένωση, έχοντας φορέσει τα κιτρινόμαυρα σε δύο διαφορετικές περιόδους.
